3Blue1Brown_线代本质第五章：行列式

• 我开始了3蓝1棕的线性代数本质的学习，我没什么基础所以在此做了笔记，这里是第五章打卡，学习永远不怕晚哈！如有问题请各位大佬及时指正！
• 在b站它的链接在此。
• 官方一共将此系列分为12节，所以我也会分开写。
• 我会把相关的这一系列笔记链接在每一篇的最下面，写完就会更新，有需要的朋友可以自行跳转！
• 这就是普通的记录，比较基础，没什么有新意的地方。厉害的大佬或相关专业的大佬可以自行跳过此笔记！

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✏️区域内面积增大减小：

• 想象一些线性空间，有的变换是向外拉伸空间（Generally stretches space），有的则是向内挤压（Generally squashes space）；有件事情对理解这些线性变换很有用，那就是测量这些变换究竟对空间有多少拉伸或挤压；也就是：测量一个给定区域面积增大或减小的比例。
  
• 如上图所示，i帽从（1，0）变换为（3，0），j帽从（0，1）变换为（0，2）；则由i帽和j帽决定的单位正方形的面积从原先的1x1变成了现在的3x2；它的面积增大了6倍。所以我们说这个线性变换将它的面积变为6倍。

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• 【剪切矩阵】则是i帽不变还是在（1，0），j帽从（0，1）变为（1，1）；此时由i帽和j帽决定的单位正方形在变换后倾斜为一个平行四边形，但是它的面积是不变的。所以说即便这个变换空间向右挤压，它并不改变面积。
• 实际上，只要知道单位正方形面积变化的比例，他就能告诉你其他任意区域的面积变化比例（因为“网格线保持平行且等距分布”）。

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• 对于不是方形网格的形状，我们可以用许多放个良好近似，只要使用的方格足够小，近似就能足够好。由于所有的小方格都是进行等比缩放，所以整个形状也进行了同样比例的缩放。

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✏️线性变换的行列式（The “deternminant” of a transformation）：

• 比如说，一个线性变换的行列式是3，那么就是说他将一个区域的面积增加为原来的三倍。
• 同理一个线性变换的行列式是1/2，那么就说他将一个区域的面积减少为原来的二分之一。
• 如果一个线性变换的行列式是0，那么说明它将整个平面压缩到一条线，甚至是一个点上。
• 如果变换前j帽在i帽的左侧，变换后j帽变成i帽的右侧，那么此时空间定向就发生了改变（Orientation has been reversed）。
• 当空间定向改变，行列式为负，但是行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例。

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✍️负的面积为什么与定向改变相关？

• 考虑i帽靠近j帽时的变换，空间也被更厉害的压缩，意味着行列式趋近于0；当i帽与j帽完全重合时，行列式为0。如果i帽继续沿着这个方向运动，则行列式继续减小为负值。

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✏️三维空间中行列式的变换：

• 它告诉你的依然是变换前后的缩放比例，不过三维空间内缩放的是体积。
• 在三维空间中我们可以用1x1x1，即i，j，k这三个基向量，这个特殊的立方体来观察行列式的变换。
• 我们可以把行列式简单的看作这个平行六面体的体积
  
• 行列式为0则意味着整个空间被压缩为零体积的东西。也就是一个平面，一条直线或一个点。

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✍️如何计算行列式？：

• 首先它必须得是方形矩阵（行列数相等）。
  
• ad是平行四边形的面积公式底乘以高，如果c不为0的情况下，这个bc项准确的告诉你平行四边形在对角线方向上拉伸或压缩了多少；则这个公式就可以计算出拉伸后的面积。

✍️三阶行列式计算公式：

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